Inilah Rumus-rumus, Materi, dan Contoh Soal dari Deret Taylor dan Maclaurin (+ Video Materi)

Assalamu‘alaikum wr. wb.

Halo gais, Kembali lagi bersama Inzaghi's Blog! Jika sebelumnya, sudah membahas tentang Metode Numerik beserta dengan Perbandingan Numerik dan Analitik, sekarang kita akan membahas tentang Deret Taylor dan Maclaurin. Deret Taylor dan Maclaurin merupakan bagian dari penerapan Matematika Kalkulus yang tidak dapat diselesaikan dalam bentuk Analitik. Mari kita bahas sampai tuntas.

Ilustrasi Rumus Deret Taylor dan Maclaurin

MATERI

Sumber Materi : Jagostat.com dan M4th-lab.net

A. Pengertian dan Rumus Umum

1. Deret Taylor

Deret Taylor dan deret MacLaurin adalah topik yang menarik untuk dipelajari kalkulus. Kami membahas di sini kedua deret secara rinci dan memberikan contoh aplikasi. Namun sebelum itu, saya sarankan Anda terlebih dahulu memahami apa itu deret pangkat.

Misalnya terdapat fungsi f(x), maka Deret Taylor dari fungsi f(x) ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

2. Deret MacLaurin

Jika a=0, atau Deret Taylor dengan x di sekitar 0 (x=0), maka deret yang dihasilkan disebut Deret Maclaurin. Oleh karena itu, Deret Maclaurin merupakan kasus khusus Deret Taylor, yang fungsinya meluas pada a=0. Kita tuliskan deret Maclaurin dalam formula berikut :

Sebelum beralih ke contoh soal, ada baiknya kita memahami dari mana rumus Taylor berasal. Mari kita mulai dengan mengasumsikan fungsi f(x). Bisakah fungsi f(x) ini diperluas menjadi deret pangkat dalam x atau x−a? Atau secara lebih spesifik, adakah bilangan-bilangan c₀, c₁, c₂, c₃, … sehingga :

Andaikan bilangan-bilangan tersebut ada, maka menurut Teorema Turunan (Diferensial), kita peroleh hasil berikut :

Apabila kita substitusikan x=a dan menghitung c_n, kita peroleh :

Atau secara lebih umum, dapat dituliskan sebagai :

Hasil yang kita peroleh di atas dapat dinyatakan dalam Teorema berikut :

Teorema A

Andaikan f(x) dapat diekspansi menjadi :

Untuk semua x dalam suatu selang sekitar a. Maka, kita peroleh :

Bentuk koefisien c_n mengingatkan kita pada koefisien yang termasuk dalam Rumus Taylor. Oleh karena ini, deret pangkat dari (x−a) yang menjelaskan fungsi tersebut disebut Deret Taylor. Apabila a=0, deret yang dimaksud disebut deret Maclaurin.

B. Kekonvergenan Deret Taylor

Terlepas dari uraian panjang di atas, masih ada beberapa pertanyaan yang belum terjawab. Artinya, jika kita mengetahui fungsi f, dapatkah kita menggambarkannya sebagai deret pangkat dalam x–a (yang tentunya adalah deret Taylor)? Jawabannya ada di kalimat selanjutnya.

Teorema B : Rumus Taylor dengan Sisa

Andaikan f sebuah fungsi yang mana turunan ke-(n+1) yaitu f_n+1(x) ada untuk setiap x dalam interval terbuka I yang mengandung a. Maka, untuk setiap x dalam I,

Di mana sisa (atau error) R_n(x) diberikan oleh rumus :

Dan c adalah titik antara x dan a (c is some point between x and a).

Teorema C : Teorema Taylor

Andaikan f sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkatan dalam suatu selang (a−r, a+r). Syarat yang perlu dan cukup agar Deret Taylor.

Menggambarkan fungsi f pada selang itu, ialah :

Dengan R_n(x) suku sisa dalam Rumus Taylor, yaitu :

Dengan c suatu bilangan dalam selang (a−r, a+r).

Perhatikan kembali Rumus Taylor pada Teorema B, yaitu :

Apabila a=0, kita peroleh deret Maclaurin, yakni :

Teorema D : Deret Binomial

Untuk tiap bilangan riil ρ dan |x|<1 berlaku :

dengan

Apabila ρ bulat positif, maka (ρk) =0 untuk k>p, sehingga deret takterhingga itu menjadi sebuah deret suku-suku terhingga. Dalam hal ini deret menjadi suku banyak seperti tercantum dalam Rumus Binomial.

C. Contoh Soal Deret Taylor

1. Tentukan deret Maclaurin untuk sin(x) dan buktikan bahwa deret itu menggambarkan sin(x) untuk semua x.

Pembahasan :

Sehingga, 

Uraian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bahwa

Sekarang, |fⁿ⁺¹(x)| = |cos(x)| atau |fⁿ⁺¹(x)| = |sin(x)|, sehingga

Tetapi   untuk semua x, karena  merupakan deret konvergen suku ke-n. Akibatnya, kita lihat bahwa  .

2. Tentukan deret Maclaurin untuk cos(x) dan buktikan bahwa uraian deret itu berlaku untuk semua x.

Pembahasan :

Kita dapat menggunakan cara yang kita pakai dalam Contoh 1. Tetapi cara yang lebih mudah ialah menurunkan uraian deret dalam Contoh 1, kita peroleh :

3. Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = cosh(x) dengan dua cara, dan buktikan bahwa uraian itu menggambarkan cosh(x) untuk semua x.

Pembahasan :

Metode Pertama adalah metode langsung.

Sehingga,

Apabila kita dapat membuktikan bahwa  untuk semua x.

Metode Kedua adalah, menggunakan hubungan :

Dari pembahasan pada bagian sebelumnya, kita peroleh :

Dengan menjumlahkan 2 (Dua) Deret ini, kita peroleh deret pangkat untuk cosh(x), setelah jumlah tersebut dibagi dengan 2.

4. Tulislah  sebagai suatu deret Maclaurin pada selang −1<x<1.

Pembahasan :

Sehingga,

5. Tuliskan  sebagai suatu deret Maclaurin dan gunakan hasil ini untuk mengaproksimasi (menghampiri)  sampai 5 angka desimal.

Pembahasan :

Kita peroleh dengan menggunakan Teorema D.

Jadi,

D. Deret Maclaurin

Deret Maclaurin yang Penting adalah :

E. Contoh Soal Deret Maclaurin

1. Uraikan sin(x) dan cos(x) dalam deret MacLaurin

Pembahasan :

Kita tentukan dulu turunan dari sin(x) sebagai berikut :

Deret MacLaurin sin(x) adalah :

Dengan cara yang sama kita peroleh deret MacLaurin dari cos (x) sebagai berikut :

VIDEO

Untuk memahami lebih lanjut terkait dengan Deret Taylor dan Maclaurin, lihatlah Video-video YouTube di bawah ini.

Dan juga Video ini untuk membuat Deret Taylor menggunakan Excel :

Semoga bermanfaat bagi semua Mahasiswa Teknik yang mengambil Mata Kuliah Metode Numerik.

Terima Kasih 😄😘👌👍 :)

Wassalamu‘alaikum wr. wb.