Materi tentang Integral dan Turunan Numerik (+ Video Materi)

Assalamu‘alaikum wr. wb.

Halo gais! Sebelumnya, kita telah membahas tentang Interpolasi dan Ekstrapolasi dalam Curve Fitting. Kali ini, kita akan membahas tentang Integral dan Turunan Numerik, yang merupakan pembahasan terakhir dalam Metode Numerik. Akan tetapi, Integral dan Turunan Numerik sedikit berbeda dengan Integral dan Turunan yang pernah dipelajari di SMA, karena tidak bisa dihitung secara Analitik.

INTEGRAL NUMERIK

Sumber Materi : Bookdown.org (Chapter 9 Diferensiasi dan Integrasi Numerik), Studocu.com (PDF), dan P2k.Unkris.ac.id

Metode Integrasi Numerik adalah sebuah metode kepada menghitung aproksimasi luas wilayah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan.

Integrasi numerik mengambil peranan penting dalam masalah sains dan teknik. Hal ini mengingat di dalam bidang sains sering ditemukan ungkapan-ungkapam integral matematis yang tidak mudah atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Di samping itu, kadang-kadang fungsi yang diintegralkan tidak berbentuk analitis melainkan berupa titik-titik data. Hal ini sering muncul dalam banyak aplikasi teknik. Oleh sebab itu, kehadiran analisis numerik menjadi penting manakala pendekatan analitis mengalami kebuntuan.

A. Metode Integral Riemann

Metode integral Riemann dilakukan dengan membagi interval di bawah kurva suatu fungsi matematik sebanyak m subinterval sama besar. Pada setiap subinterval dibentuk persegi panjang setinggi kurva pada setiap titik tengah persegi panjang tersebut. Area setiap subinterval diperoleh dengan mengalikan panjang dan lebar masing-masing persegi panjang. Jumlah masing-masing area tersebut digunakan untuk menaksir interval integral suatu fungsi dengan interval tertentu. Fungsi proses integrasi menggunakan metode titik tengah dapat dituliskan pada Persamaan di bawah.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \sum_{i=1}^{m}f\left ( i\frac{|b-a|}{m}-\frac{|b-a|}{2m} \right )\frac{|b-a|}{m}$

dimana b dan a masing-masing merupakan batas atas dan bawah interval kurva yang hendak dihitung integralnya.

Error dari metode ini dapat diestimasi menggunakan Persamaan di bawah ini.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\int_{a}^{b}h(x)\,dx = -\frac{(b-3)^{3}}{24m^{2}}f^{(2)}(\xi)$

dimana ξ merupakan nilai antara a dan b.

Contoh : Hitunglah Intergral Fungsi di bawah ini menggunakan metode integral Reimann dengan Interval 0 sampai 1 dan jumlah panel 2 dan 4!

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110} \int_{0}^{1}x^{2}\,dx$

Jawab :

Fungsi pada Contoh di bawah ini dapat diselesaikan menggunakan Metode Analitik. Penyelesaian analitik fungsi tersebut adalah sebagai berikut :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110} \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left [\frac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = 0.3333...$

Penyelesaian numerik menggunakan metode titik tengah dengan jumlah panel 2 dapat dilakukan dengan menentukan lokasi titik tengah kedua panel. Berdasarkan interval fungsi dapat kita tentukan titik tengah kedua panel berada pada x = 0.25 dan x = 0.75. Perhitungan dilakukan seperti berikut :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110} \int_{0}^{1}x^{2}\,dx \approx (f(0.25)+f(0.75))\,\frac{1-0}{2} = \frac{0.25^{2}+0.75^{2}}{2} = 0.3125$

Untuk meningkatkan akurasi dari nilai yang dihasilkan, jumlah panel dapat ditingkatkan. Untuk jumlah panel 4, titik tengah berada pada x = {0.125, 0.325, 0.625, 0.825}.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110} \int_{0}^{1}x^{2}\,dx \approx (f(0.125)+f(0.375)+f(0.625)+f(0.875))\,\frac{1-0}{4} = 0.328125$

Visualisasi proses Integrasi dengan Metode Riemann dapat dilihat pada Gambar di bawah ini.

Visualisasi Integral Riemann dengan 2 Panel dan 4 Panel (Sumber : Howard, 2017)

Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Contoh lainnya : Tentukan nilai error integral fungsi dibawah ini dengan metode numerik Reimann (Menggunakan Excel)!

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110} \int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx$

Jawab :

Fungsi pada Contoh di bawah ini tidak dapat diselesaikan menggunakan Metode Analitik. Jadi kita harus menggunakan Komputasi Numerik untuk bisa menghitungnya. Salah satunya, bisa menggunakan Microsoft Excel atau Google Spreadsheets. Kita lakukan sampai Iterasi N sampai 500 kali.

Misalkan :

a = 0 [C11]

b = 1 [C12]

N = 500 [C13]

h = (b-a)/N = (1-0)/500 = 1/500 = 0.002 [=(C12+C11)/C13]

Rumus Excel :

Metode Reimann : =1/C13*(SUM(G3:G502))

Sehingga, seperti ini :

Dengan Kurva seperti ini :

B. Metode Trapezoida

Pendekatan trapezoida dilakukan dengan melakukan pendekatan area dibawah kurva fungsi y = f(x) dengan subinterval [x_i, x_i+1] menggunakan trapesium. Untuk memahami pendekatan yang digunakan pembaca dapat memperhatikan Gambar di bawah ini.

Fungsi proses integrasi menggunakan Metode Trapezoida dapat dituliskan pada Persamaan di bawah ini.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \displaystyle \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^{m} \frac{(c_{i+1}-c_{i})\cdot(f(c_{i+1})-f(c_{i}))}{m}$

di mana :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}c_{i} = a+\frac{(b-a)}{n}i$

n merupakan nilai subinterval dan m merupakan jumlah panel trapesium yang digunakan.

Error dari metode ini dapat diestimasi menggunakan Persamaan di bawah ini.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\int_{a}^{b}h(x)\,dx = -\frac{(b-3)^{3}}{12m^{2}}f^{(2)}(\xi)$

dimana ξ merupakan nilai antara a dan b.

Contoh : Hitung kembali nilai Intergrasi persamaan pada Contoh di atas menggunakan Metode Trapezoida dengan jumlah panel m = 2!

Jawab : Penyelesaian numerik menggunakan trapezoida dengan jumlah panel 2 dapat dilakukan dengan menentukan lokasi titik evaluasi. Berdasarkan Gambar 9.4, terdapat 3 batas subinterval yaitu pada a, $\frac{(b-a)}{2}$ , dan b. Perhitungan intergral menggunakan ketiga titik evaluasi tersebut adalah sebagai berikut :

$\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{0.5(0.25+1.25)}{2} = 0.375$

Visualisasi proses Integrasi dengan Metode Trapezoida dapat dilihat pada Gambar di bawah ini.

Visualisasi Integrasi Metode Trapezoida dengan 2 Panel (Sumber : Howard, 2017)

Contoh lainnya : Tentukan nilai Error integral fungsi dibawah ini dengan metode numerik Trapezoida (Menggunakan Excel)!

$\int_{0}^{1}\frac{\textup{arctan}(x)}{x}\,dx$

Jawab :

Misalkan :

a = 0 [C8]

b = 1 [C9]

N = 250 [C10]

h = (b-a)/N = (1-0)/250 = 1/250 = 0.004 [=(C9+C8)/C10]

Rumus Excel :

Metode Trapezoida : =C11/2*(G3+G252+2*(SUM(G3:G251)))

Sehingga, seperti ini :

Dengan Kurva seperti ini :

C. Metode Simpson

Metode Simpson membagi subinterval [a,b] menjadi n subinterval, dimana n merupakan bilangan genap. Untuk setiap pasang subinterval, luas area di bawah fungsi f(x) ditaksir menggunakan polinomial berderajat 2.

Misalkan u<v<w merupakan titik sembarang pada suatu fungsi yang akan dicari integralnya yang terpisah sejauh h. Untuk x ∈ [u,w] kita ingin menaksir f(x) menggunakan parabola yang melalui titik (u, f(u)), (v, f(v)), dan (w, f(w)). Terdapat tepat 1 parabola p(x) yang dapat dibentuk dari ketiga titik koordinat tersebut yang ditunjukkan melalui Persamaan di bawah ini.

Sebagai taksiran luas di bawah kurva y = f(x) digunakan $\int_{w}^{u}p(x)\,dx$ . Hasil integrasi kurva Persamaan di atas disajikan pada Persamaan di bawah.

$\int_{w}^{u}p(x)\,dx = \frac{h}{3}(f(u)+4f(u)+f(w))$

Sekarang asumsikan n merupakan bilangan genap, maka kita perlu menambahkan taksiran untuk subinterval [x_2i, x_2i+2] untuk memperoleh taksiran S pada integral $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ yang disajikan pada Persamaan di bawah ini.

Persamaan (9.14) disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 karena terdapat koefisien 1/3 pada bagian depan persamaan tersebut. Persamaan tersebut juga mudah diingat mengingat pola koefisien persamaan tersebut adalah 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1. Namun penggunaan kaidah 1/3 Simpson mengharuskan jumlah subinterval n genap. Kondisi tersebut jelas berbeda dengan Metode Trapezoida yang tidak mensyaratkan jumlah selang.

$\int_{a}^{b}h(x)\,dx = -\frac{(b-a)^{5}}{180m^{4}}f^{(4)}(\xi)$

Dimana ξ merupakan nilai antara a dan b.

TURUNAN NUMERIK

Sumber Materi : Bookdown.org (Chapter 9 Diferensiasi dan Integrasi Numerik), Slideshare.net (PPT)

Turunan numerik adalah teknik analisis numerik untuk menghasilkan perkiraan dari turunan dari fungsi matematika atau fungsi subrutin menggunakan nilai dari fungsi dan mungkin pengetahuan lainnya tentang fungsi. Pada turunan numerik, terdapat beberapa rumus yang dapat digunakan sesuai dengan masalah yang dihadapi.

A. Metode Beda Hingga

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan berikut ini.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan di atas dimana h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x) dan f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan di bawah ini menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}f''(c)$

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}f'(x) = \frac{f(x)-f(x-h)}{h}-\frac{h}{2}f''(c)$

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

$f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-\frac{h^{2}}{6}f'''(c)$

Bagaimana menentukan h? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan di bawah ini.

$h^{*} = x\sqrt{\epsilon}$